Question

如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．

        图1                       图2

(1)求证：DE⊥平面BCD；

(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B ­DEG的体积．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)如图(1)∵CE＝4，∠DCE＝30°，过点D作AC的垂线交于点M，则DM＝，EM＝1，∴DE＝2，CD＝2.

则CD2＋DE2＝EC2，∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.

在图(2)中，

又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，

∴DE⊥平面BCD.

图(1) 图(2)

(2)在图(2)中，

∵EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，

∴EF∥BG.

∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，

∴AE＝EG＝CG＝2.

作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD，∴BH⊥平面ACD.

由条件得BH＝.

S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin 30°＝.

三棱锥B ­DEG的体积V＝S△DEG·BH＝××＝.