Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

Answer

（1）f(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)（2）5 cm厚，70万元

【解析】(1)设隔热层厚度x cm，由题意，建筑物每年的能源消耗费用为C(x)＝ (0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，

∴C(x)＝ (0≤x≤10)，又∵隔热层建造费用为6x(万元)，

∴f(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．

(2)f(x)＝＋6x＝＋(6x＋10)－10，

∵0≤x≤10，∴6x＋10＞0，∴f(x)≥2－10＝70.

当且仅当＝6x＋10.即x＝5时，取“＝”号．

故隔热层修建5 cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．