Question

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．

(1)求F(x)的表达式；

(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．

Answer

（1）（2）(－∞，－2]∪[6，＋∞)

【解析】(1)∵f(－1)＝0，

∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，

∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.

∵f(x)≥0恒成立，

∴∴

∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，

∴F(x)＝

(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.

∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，

∴≤－2，或≥2，

解得k≤－2，或k≥6.

所以k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)