Question

设函数f(x)＝，g(x)＝－x²＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则下列判断正确的是 (　　)．

A．x₁＋x₂＞0，y₁＋y₂＞0

B．x₁＋x₂＜0，y₁＋y₂＞0

C．x₁＋x₂＞0，y₁＋y₂＜0

D．x₁＋x₂＜0，y₁＋y₂＜0

Answer

C

【解析】设F(x)＝x3－bx2＋1，则方程F(x)＝0与f(x)＝g(x)同解，

故其有且仅有两个不同零点 x1，x2.

∵F′(x)＝3x2－2bx，由F′(x)＝0，得x＝0或x＝b.

易知x＝0，x＝b为F(x)的极值点．

又F(0)＝1.

由题意F(x)的图象与x轴有两个公共点．

因此，F＝0，从而b＝.

不妨设x1＜x2，则x2＝b＝.

所以F(x)＝(x－x1)(x－)2，比较F(x)的系数．

∴－x1＝1，∴x1＝－.

故x1＋x2＝＞0，

y1＋y2＝＝＜0.