Question

设函数f(x)＝x³－x²＋6x－a.

(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；

(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

Answer

（1）－（2）(－∞，2)∪

【解析】(1)f′(x)＝3x2－9x＋6，

因为x∈R时，f′(x)≥m，

即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，

所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－，

故m的最大值为－.

(2)由(1)知，f′(x)＝3(x－1)(x－2)，当x＜1时，f′(x)＞0；

当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.

所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；

当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a；

故当f(2)＞0或f(1)＜0时，方程f(x)＝0仅有一个实根．

解得a＜2或a＞.

∴ 实数a的取值范围是(－∞，2)∪.