Question

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)²，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

Answer

（1）a＝2（2）4元/千克

【解析】(1)因为x＝5时，y＝11，

所以＋10＝11，则a＝2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，

3＜x＜6.

所以商场每日销售商品所获得的利润

f(x)＝(x－3)

＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.

从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]

＝30(x－4)(x－6)，

于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(3,4)

4

(4,6)

f′(x)

＋

0

－

f(x)



极大值42



由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

所以，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．