Question

已知函数f(x)＝e^x(ax＋b)－x²－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

Answer

（1）a＝4，b＝4（2）单调增区间为(－∞，－2)，；

单调减区间为，4－4e－2.

【解析】(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4

＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，

∵y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4，

∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，

∴a＝4，b＝4.

(2)由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2)

＝2(x＋2)(2ex－1)，

令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝ln，

列表：

x

(－∞，－2)

－2

ln

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)

极大值

极小值

∴y＝f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，；

单调减区间为.

f(x)极大值＝f(－2)＝4－4e－2.