Question

设函数f(x)＝x＋ax²＋bln x，曲线y＝f(x)在点P(1,0)处的切线斜率为2.

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)≤2x－2.

Answer

(1) (2)见解析

【解析】(1)f′(x)＝1＋2ax＋，

由题设，y＝f(x)在点P(1,0)处切线的斜率为2.

∴解之得

因此实数a，b的值分别为－1和3.

(2)f(x)定义域(0，＋∞)，且f(x)＝x－x2＋3ln x.

设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，

则g′(x)＝－1－2x＋＝－.

当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0.

∴g(x)在(0,1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调减少．

∴g(x)在x＝1处有最大值g(1)＝0

故g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.