Question

设{a_n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S_n，且a₅，a₃，a₄成等差数列．

(1)求数列{a_n}的公比；

(2)证明：对任意k∈N^*，S_k＋2，S_k，S_k＋1成等差数列．

Answer

（1）q＝－2（2）见解析

【解析】(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，

由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，

即2a1q2＝a1q4＋a1q3，

由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q＝－2或1(舍去)，所以q＝－2.

(2)法一 对任意k∈N*，

Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)

＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1

＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，

所以，对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

法二：对任意k∈N*,2Sk＝，

Sk＋2＋Sk＋1＝＋＝，

2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－

＝ [2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]＝ (q2＋q－2)＝0，

因此，对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．