Question

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃＝7，且a₁＋3,3a₂，a₃＋4构成等差数列．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)令b_n＝ln a_3n＋1，n＝1,2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer

（1）an＝2n－1（2）ln 2

【解析】(1)依题意，得

解得a2＝2.

设等比数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.

又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，

解得q＝2或.

由题意，得q>1，∴q＝2，∴a1＝1.

故数列{an}的通项是an＝2n－1.

(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，

由(1)得a3n＋1＝23n，

∴bn＝ln 23n＝3n ln 2，

又bn＋1－bn＝3ln 2，

∴数列{bn}是等差数列．

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝ln 2.

故Tn＝ln 2.