Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝1，＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^*.

(1)求a₂的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n，有.

Answer

（1）a2＝4.（2）an＝n2.（3）见解析

【解析】(1)2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.

(2)当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，

2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－ (n－1)，

两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－ (3n2－3n＋1)－(2n－1)－，

整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，

即＝1，又＝1，

故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，

所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.

(3)当n＝1时，＝1＜，当n＝2时，＋＝1＋＝＜，

当n≥3时，＝＜＝，

＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋＝＋－＝－<，所以对一切正整数n，有.