Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝4，AD＝，E为CD的中点，将△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中垂足O在线段DE内．

(1)求证：CO⊥平面ABED；

(2)问∠CEO(记为θ)多大时，三棱锥C－AOE的体积最大，最大值为多少．

Answer

（1）见解析（2），

【解析】(1)在直角梯形ABCD中，

CD＝2AB，E为CD的中点，则AB＝DE，

又AB∥DE，AD⊥AB，可知BE⊥CD.

在四棱锥C－ABED中，BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面CDE，

则BE⊥平面CDE.又BE⊂平面ABED，

所以平面ABED⊥平面CDE，

因为CO⊂平面CDE，

又CO⊥DE，且DE是平面ABED和平面CDE的相交直线，

故CO⊥平面ABED.

(2)由(1)知CO⊥平面ABED，

所以三棱锥C－AOE的体积V＝S△AOE×OC＝××OE×AD×OC.

由直角梯形ABCD中，CD＝2AB＝4，AD＝，CE＝2.

得在三棱锥C－AOE中，

OE＝CEcos θ＝2cos θ，OC＝CEsin θ＝2sin θ，

V＝sin 2θ≤，

当且仅当sin 2θ＝1，θ∈，即θ＝时取等号(此时OE＝＜DE，O落在线段DE内)，

故当θ＝时，三棱锥C－AOE的体积最大，最大值为.