Question

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CA＝CB，AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°.

(1)证明：AB⊥A₁C；

(2)若AB＝CB＝2，A₁C＝，求三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积；

(3)若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB＝CB＝2，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析（2）3（3）

【解析】(1)如图，取AB的中点O，连接CO，A1O.

∵CA＝CB，∴CO⊥AB，

又∵AA1＝AB，得AA1＝2AO，

又∠A1AO＝60°，

∴∠AOA1＝90°，即AB⊥A1O，

∴AB⊥平面A1OC，又A1C⊂平面A1OC，

∴AB⊥A1C.

(2)∵AB＝CB＝2＝AC，∴CO＝，

又A1A＝AB＝2，∠BAA1＝60°，

∴在等边三角形AA1B中，A1O＝，

∵A1C2＝A1O2＋CO2＝6，

∴∠COA1＝90°，即A1O⊥CO，

∴A1O⊥平面ABC，

∴VABC－A1B1C1＝×22×＝3.

(3)作辅助线同(1)

以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B1(－2，，0)，则＝(1,0，)，＝(－1，，0)，＝(0，－，)，设n＝(x，y，z)为平面BB1C1C的法向量，则即所以n＝(，1，－1)，

则cos