Question

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B₁E⊥AD₁.

(2)在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

(3)若二面角A－B₁E－A₁的大小为30°，求AB的长．

Answer

（1）见解析（2）（3）2

【解析】(1)以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0，0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，

E，B1(a,0,1)，

故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.

∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，

∴B1E⊥AD1.

(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)(0≤z0≤1)，

使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0)．

又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

由n⊥，n⊥，得.

取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，

解得z0＝.

又DP⊄平面B1AE，

∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.

(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.

∵B1C∥A1D，

∴AD1⊥B1C.

又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，

∴AD1⊥平面DCB1A1，

∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．

设与n所成的角为θ，则

cos θ＝＝.

∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，

∴|cos θ|＝cos 30°，即＝，

解得a＝2，即AB的长为.2