Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x²－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer

（1）(x－3)2＋(y－1)2＝9（2）.a＝－1.

【解析】(1)曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±2，0)．

故可设圆心坐标为(3，t)，

则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2.

解得t＝1，则圆的半径为＝3.

所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组

消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，

由已知可得判别式Δ＝56－16a－4a2>0，

∴x1＋x2＝4－a，x1x2＝，①

由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.

又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a.

所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②

由①②可得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.