Question

已知直线l：y＝x＋m，m∈R.

(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；

(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x²＝4y是否相切？说明理由．

Answer

（1）(x－2)2＋y2＝8.（2）当m＝1时，直线l′与抛物线C相切．

当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切

【解析】法一：(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．

因为MP⊥l，

所以×1＝－1，

解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．

从而圆的半径r＝|MP|＝＝2.

故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.

(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，

所以直线l′的方程为y＝－x－m.

由得x2＋4x＋4m＝0.

Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．

①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；

②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．

综上，

．

法二(1)设所求圆的半径为r，

则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.

依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，

则解得

所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.

(2)同法一．