Question

已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO、BO分别交直线l：y＝x－2于M、N两点，求|MN|的最小值．

Answer

（1）x2＝4y（2）

【解析】(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.

由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4 .又y＝ x，且y＝x－2，

解得点M的横坐标xM＝.

同理点N的横坐标xN＝.

所以|MN|＝|xM－xN|＝＝8

＝，

令4k－3＝t，t≠0，则k＝.

当t>0时，|MN|＝2.

当t<0时，|MN|＝2≥.

综上所述，当t＝－，即k＝－时，

|MN|取到最小值，且|MN|的最小值是.