Question

某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．

(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；

(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即原价的85%)．问：该厂是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．

Answer

（1）10天（2）利用

【解析】(1)设该厂x(x∈N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y1.

∵饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，

∴x天饲料的保管费与其他费用共是

6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．

从而有y1＝ (3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，当且仅当＝3x，

即x＝10时，y1有最小值．

故该厂10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．

(2)设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝ (3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25)．

令f(x)＝＋3x(x≥25)，

∵f′(x)＝－＋3，

∴当x≥25时，f′(x)＞0；当x≥25时，函数f(x)与y2是增函数．

∴当x＝25时，y2取得最小值，最小值为390.

∵390＜417，∴该厂应考虑利用此优惠条件．