Question

已知函数f(x)＝，x∈[－1,1]，函数g(x)＝[f(x)]²－2af(x)＋3的最小值为h(a)．

(1)求h(a)；

(2)是否存在实数m、n同时满足下列条件：

①m＞n＞3；

②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]？若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）h(a)＝（2）不存在

【解析】(1)∵x∈[－1,1]，∴f(x)＝∈.设t＝，t∈，

则y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.

当a＜时，ymin＝h(a)＝φ＝；

当≤a≤3时，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；

当a＞3时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.

∴h(a)＝

(2)假设满足题意的m、n存在，∵m＞n＞3，∴h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是减函数．∵h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，∴，由②－①得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，∵m＞n＞3，∴m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾，∴满足题意的m、n不存在．