Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设平面向量e₁＝，e₂＝，且e₁⊥e₂.

(1)求cos 2A的值；

(2)若a＝2，求△ABC的周长L的取值范围．

Answer

（1）－（2）(4,6]

【解析】(1)∵e1⊥e2，∴e1·e2＝·＝2cos C·a＋·1＝0，

即acos C＋－b＝0∴2acos C＋c－2b＝0.

根据正弦定理得：2sin Acos C＋sin C＝2sin B，

∴2sin Acos C＋sin C＝2sin(A＋C)，

∴2sin Acos C＋sin C＝2sin Acos C＋2cos Asin C，

∴2cos Asin C＝sin C，∵sin C≠0，

∴cos A＝，A∈(0，π)∴A＝∴cos 2A＝cos＝－.

(2)由余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－＝即b＋c≤＝4，当且仅当b＝c＝2时取等号，由构成三角形的条件知b＋c＞a＝2，即b＋c∈(2,4]∴L＝a＋b＋c∈(4,6]．