Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知ba_n－2ⁿ＝(b－1)S_n.

(1)证明：当b＝2时，{a_n－n·2^n－1}是等比数列；

(2)求{a_n}的通项公式．

Answer

（1）见解析（2）an＝

【解析】由题意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，

两式相减得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，

即an＋1＝ban＋2n.①

(1)证明 当b＝2时，由①知an＋1＝2an＋2n，

于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)，

又a1－1·21－1＝1≠0，所以{an－n·2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．

(2)当b＝2时，由(1)知an－n·2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)·2n－1；当b≠2时，由①得，an＋1－·2n＋1＝ban＋2n－·2n＋1＝ban－·2n＝b ，因此an＋1－·2n＋1＝b ＝·bn，

得an＝