Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA₁＝2，E，E₁，F分别是棱AD，AA₁，AB的中点．

(1)证明：直线EE₁∥平面FCC₁；

(2)求二面角B-FC₁-C的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)证明

法一 取A1B1的中点F1，连接FF1，C1F1，由于FF1∥BB1∥CC1，

所以F1∈平面FCC1，

因此平面FCC1，即为平面C1CFF1.，连接A1D，F1C，由于 CD，

所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，得EE1∥F1C.

而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.

法二 因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD AF.

因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.

又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.

(2)解 法一 取FC的中点H，由于FC＝BC＝FB，所以BH⊥FC.又BH⊥CC1，CC1∩FC＝C.所以BH⊥平面FCC1.过H作HG⊥C1F于G，连接BG.由于HG⊥C1F，BH⊥平面FCC1，所以C1F⊥平面BHG.因此BG⊥C1F，所以∠BGH为所求二面角的平面角．在Rt△BHG中，BH＝，

又FH＝1，且△FCC1为等腰直角三角形，所以HG＝，BG＝＝，因此cos∠BGH＝＝＝，

即所求二面角的余弦值为.

法二 过D作DR⊥CD交AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)．

所以＝(0,2,0)，＝(－，－1,2)，＝(，3,0)．

由FB＝CB＝CD＝DF，所以DB⊥FC.又CC1⊥平面ABCD，

所以为平面FCC1的一个法向量．

设平面BFC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则由得即取x＝1，得

因此n＝，所以cos〈，n〉＝=.

故所求二面角的余弦值为.