Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)．

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A-BEF的体积为定值

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

Answer

D

【解析】∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1，D1D.

∴AC⊥BE，故A正确．

∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，

∴EF∥平面ABCD，故B正确．

C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．

当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F ，

∴＝(0，－1,1)，＝，

∴·＝.

又||＝，||＝，

∴cos〈，〉＝＝.

∴此时异面直线AE与BF成30°角．

②当点E为D1B1的中点，点F在B1处时，此时E，F(0,1,1)，

∴＝，＝(0,0,1)，

∴·＝1，||＝，

∴cos〈，〉＝＝＝≠，故选D.