Question

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB₁＝，M是线段B₁D₁的中点．

(1)求证：BM∥平面D₁AC；

(2)求证：D₁O⊥平面AB₁C；

(3)求二面角B-AB₁-C的大小．

Answer

60°.

【解析】(1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)、D1(0,0，)，

∴＝(－1，－1，)，

又点B(2,2,0)，M(1,1，)，

∴＝(－1，－1，)，

∴＝，又∵OD1与BM不共线，

∴OD1∥BM.

又OD1⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，

∴BM∥平面D1AC.

(2)证明 连接OB1.∵·＝(－1，－1，)·(1,1，)＝0，·＝

(－1，－1，)·(－2,2,0)＝0，∴⊥，⊥，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC，又OB1∩AC＝O，∴D1O⊥平面AB1C.

(3)解 ∵CB⊥AB，CB⊥BB1，∴CB⊥平面ABB1，∴＝(－2,0,0)为平面ABB1的一个法向量．由(2)知为平面AB1C的一个法向量．

∴cos〈，〉＝，∴与的夹角为60°，即二面角B-AB1-C的大小为60°.