Question

已知直线l：y＝x＋，圆O：x²＋y²＝5，椭圆E：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．

Answer

（1）＝1.（2）－1

【解析】设椭圆的半焦距为c，

圆心O到直线l的距离d＝＝，

∴b＝＝.

由题意得∴a2＝3，b2＝2.

∴椭圆E的方程为＝1.

(2)证明 设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，

联立直线l0与椭圆E的方程得

消去y得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，

∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，

整理得：(2－)k2＋2kx0y0－(－3)＝0，

设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－，

∵点P在圆O上，∴＝5，

∴k1·k2＝－＝－1.

∴两条切线的斜率之积为常数－1.