Question

已知函数f(x)＝ln x＋2x－6.

(1)证明：函数f(x)有且只有一个零点；

(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)是增函数．

∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，

∴f(2)·f(3)<0.

∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．

又因f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

从而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．

(2)由(1)知f(2)<0，f(3)>0.

∴f(x)的零点x0∈(2,3)．

取x1＝，∵f ＝ln －1＝ln－ln e<0，∴f ·f(3)<0，∴x0∈.

取x2＝，∵f ＝ln －＝ln －ln e >0，∴f ·f <0.

∴x0∈且＝≤，∴即为符合条件的区间．