Question

已知f(x)＝e^x－ax－1.

(1)求f(x)的单调增区间；

(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．

Answer

（1）当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．（2）(－∞，0]．

【解析】(1)∵f(x)＝ex－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a.当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥ln a．综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．

(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，

∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex在R上恒成立．

∵x∈R时，ex>0，∴a≤0，

即a的取值范围是(－∞，0]．