Question

已知函数f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；

(2)求f(x)的单调区间．

Answer

（1）a＝（2）f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是

【解析】f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x>0)．

(1)由题意得f′(1)＝f′(3)，解得a＝.

(2)f′(x)＝ (x>0)．

①当a≤0时，x>0，ax－1<0.在区间(0,2)上，f′(x)>0；在区间(2，＋∞)上，f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．

②当02.在区间(0,2)和上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间是(0,2)和，单调递减区间是.

③当a＝时，f′(x)＝≥0，

故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．

④当a>时，0<<2，在区间和(2，＋∞)上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是.