Question

如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.

(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；

(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋，求△ABC外接圆的面积．

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】如图，设F为AD延长线上一点．

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，

∴∠ADB＝∠CDF.又∠EDF＝∠ADB，

故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE.

(2)设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC.

连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.

设圆半径为r，则r＋r＝2＋，得r＝2，外接圆面积为4π.