Question

如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；

(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)连接DE，则∠DCB＝∠DEB，

∵DB⊥BE，∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，

∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，

又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，

∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，∴DB＝DC.

(2)由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，

∴，∴∠BDE＝∠CDE，∴DE是BC的垂直平分线，

设交点为H，则BH＝，∴OH＝＝，

∴DH＝，∴tan∠BDE＝＝，∴∠BDE＝30°，∴∠FBE＝∠BDE＝30°，

∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC是△BCF的外接圆直径．

∴△BCF的外接圆半径为