Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB＝AA₁＝.

(1)证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；

(2)求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

Answer

（1）见解析（2）θ＝

【解析】(1)法一：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.

又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又A1O∩AC＝O，∴BD⊥平面A1OC，又A1C⊂平面A1OC，∴BD⊥A1C.

又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，

∴AC2＝AA＋A1C2，

∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.

又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，又BB1∩BD＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D.

法二：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．

∵AB＝AA1＝，

∴OA＝OB＝OA1＝1，

∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，

A1(0,0,1)．由＝，易得B1(－1,1,1)．

∵＝(－1,0，－1)，＝(0，－2,0)，＝(－1,0,1)．

∴·＝0，·＝0，

∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，

又BD∩BB1＝B，

∴A1C⊥平面BB1D1D.

(2)设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)．

∵＝(－1,0,0)，＝(－1,1,1)，

∴ ∴取n＝(0,1，－1)，

由(1)知，＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量，

∴cos θ＝|cos〈n，〉|＝＝.

又∵0≤θ≤，∴θ＝.