Question

如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB＝2AD，AD＝，E为DC的中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B.

(1)求证：AD⊥平面BDE；

(2)求二面角B-AD-E的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)由题设可知AD⊥DE，取AE中点O，连接OD，BE.∵AD＝DE＝，∴OD⊥AE.又二面角D-AE-B为直二面角，∴OD⊥平面ABCE.又AE＝BE＝2，AB＝2，∴AB2＝AE2＋BE2.∴AE⊥BE.取AB中点F，连接OF，则OF∥EB.∴OF⊥AE.以点O为原点，OA，OF，OD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，

则A(1,0,0)，D(0,0,1)，B(－1,2,0)，E(－1,0,0)，＝(－1,0,1)，＝(1，－2,1)，＝(0,2,0)，

设n＝(x1，y1，z1)是平面BDE的法向量，

则即取x1＝1，则z1＝－1.

于是n＝(1,0，－1)．∴n＝－.∴n∥.∴AD⊥平面BDE.

(2)设m＝(x2，y2，z2)是平面ABD的一个法向量，

则m·＝0，m·＝0，∴取x2＝1，则y2＝1，z2＝1，则m＝(1,1,1)，平面ADE的法向量＝(0,1,0)．∴cos〈m，〉＝＝＝.∴二面角B-AD-E的余弦值为.