Question

已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．

(1)求证：DE∥平面PFB；

(2)已知二面角P­BF­C的余弦值为，求四棱锥P­ABCD的体积．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，所以BE綉FD，即BEDF为平行四边形，

∴ED∥FB，∵FB⊂平面PFB，且ED⊄平面PFB，

∴DE∥平面PFB.

(2)以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．如图，设PD＝a，

可得如下点的坐标P(0,0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)．

则有＝(1,0，－a)，＝(1,2,0)．

因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)．

设平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，

则可得即.，

令x＝1, 得z＝，y＝－，

所以n＝.

由已知二面角P-BF-C的余弦值为，

所以得cos〈m，n〉＝＝，

∴a＝2，∴VP－ABCD＝×2×2×2＝