Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：OM∥平面PAB；

(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；

(3)当四棱锥P-ABCD的体积等于时，求PB的长．

Answer

【解析】(1)证明∵在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB.

∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB.

(2)证明∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.

(3)解∵底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，

∴S菱形ABCD＝2××AB×AD×sin 60°＝2×2×＝2.

∵四棱锥P-ABCD的高为PA，∴×2×PA＝，解得PA＝.又∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.在Rt△PAB中，PB＝ ＝＝.