Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A₁B₁，∠BAD＝60°.

(1)证明：AA₁⊥BD；

(2)证明：CC₁∥平面A₁BD.

Answer

见解析

【解析】(1)法一因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.

在△ABD中，由余弦定理，得

BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠BAD.

又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，所以BD2＝3AD2.

所以AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD.

又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.

又AA1⊂平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.

法二因为DD1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥D1D.

如图1，取AB的中点G，连接DG.

图1

在△ABD中，由AB＝2AD，得AG＝AD.又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形，所以GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB.

又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，

所以∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，

所以BD⊥AD.

又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.

又AA1⊂平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.

(2)如图2，连接AC，A1C1.

设AC∩BD于点E，

图2

连接EA1.

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以EC＝AC.

由棱台的定义及AB＝2AD＝2A1B1知，

A1C1∥EC且A1C1＝EC，

所以四边形A1ECC1为平行四边形，

因此CC1∥EA1.

又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，

所以CC1∥平面A1BD.