Question

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C­PB­A的余弦值．

Answer

(1)见解析 (2)

【解析】(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC，

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAC.

(2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，

以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.

因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．

故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．

设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则所以

不妨令y1＝1，则n1＝(0,1，－1)．

因为＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，

设平面ABP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则

所以

不妨令x2＝1，则n2＝(1，，0)．

于是cos〈n1，n2〉＝＝.

所以由题意可知二面角C­PB­A的余弦值为