Question

如图，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E为棱AA₁的中点．

(1)证明B₁C₁⊥CE；

(2)求二面角B₁-CE-C₁的正弦值；

(3)设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为，求线段AM的长．

Answer

(1)见解析 (2) (3)

【解析】向量法

如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．

(1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.

(2) ＝(1，－2，－1)．

设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．

由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．

于是cos〈m，〉＝＝＝－，从而sin〈m，〉＝，所以二面角B1CEC1的正弦值为.

(3) ＝(0,1,0)，＝(1,1,1)，设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则

sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，

于是＝，解得λ＝，所以AM＝.

综合法

(1)证明 因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，从而B1E2＝B1＋E，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.

(2)解 过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.由(1)，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角．在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.

在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin ∠B1GC1＝，即二面角B1-CE-C1的正弦值为.

(3)解 连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有MH＝x，AH＝x.在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，得EH＝MH＝x.

在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，

由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos 135°，得x2＝1＋x2＋x，整理得5x2－2x－6＝0，解得x＝.

所以线段AM的长为.