Question

已知A，B，C是椭圆W：＋y²＝1上的三个点，O是坐标原点．

(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；

(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

Answer

（1）（2）不可能

【解析】(1)由椭圆W：＋y2＝1，知B(2,0)．

因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分，所以可设A(1，t)，代入＋y2＝1，得t＝±.∴|AC|＝2|t|＝.

因此菱形的面积S＝|OB|·|AC|＝×2×＝.

(2)假设四边形OABC为菱形．

因点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

由，消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则

，

∴线段AC中点M .因为M为AC和OB的交点，∴kOB＝－.

又k·＝－≠－1，∴AC与OB不垂直．

故四边形OABC不是菱形，这与假设矛盾．

所以，当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形