Question

如图，点P(0，－1)是椭圆C₁：＝1(a>b>0)的一个顶点，C₁的长轴是圆C₂：x²＋y²＝4的直径．l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中l₁交圆C₂于A，B两点，l₂交椭圆C₁于另一点D.

(1)求椭圆C₁的方程；

(2)求△ABD面积取最大值时直线l₁的方程．

Answer

（1）＋y2＝1（2）y＝±x－1

【解析】(1)由题意得所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．

由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，

则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，

故点O到直线l1的距离

d＝，所以|AB|＝2＝2.

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由

消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－.所以|PD|＝.

设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，

所以S＝≤＝，

当且仅当k＝±时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.