Question

已知向量a＝，b＝，且x∈.

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－，求正实数λ的值．

Answer

（1）|a＋b|＝2cosx（2）λ＝

【解析】(1)a·b＝cosx·cos－sinx·sin＝cos 2x.

∵a＋b＝，

∴|a＋b|2＝2＋2

＝2＋2＝2＋2cos 2x＝4cos2x.

∵x∈，∴cos x≥0.因此|a＋b|＝2cos x.

(2)由(1)知f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos2x－4λcos x－1，

∴f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2，cos x∈[0,1]．

①当0＜λ≤1时，当cos x＝λ时，

f(x)有最小值－1－2λ2＝－，解得λ＝.

②当λ＞1时，当cos x＝1时，f(x)有最小值1－4λ＝－，

λ＝ (舍去)，综上可得λ＝