Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出f(5)的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；

(3)求的值．

Answer

（1）41（2）f(n)＝2n2－2n＋1（3）

【解析】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，

∴f(5)＝25＋4×4＝41.

(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，

f(n－1)－f(n－2)＝4(n－2)，

f(n－2)－f(n－3)＝4(n－3)，

…

f(2)－f(1)＝4×1，

∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.

(3)当n≥2时，＝

∴＝1＋＝1＋＝.