Question

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

Answer

(1)(0,5)．(2)当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．

又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，

所以h＝(300－4r2)，从而V′(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．

因r>0，又由h>0可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．

(2)因V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)，

令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．

当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；

当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．

由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.

即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．