Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，满足T_n＝2S_n－n²，n∈N^*.

(1)求a₁的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）a1＝1.（2）an＝3·2n－1－2

【解析】(1)当n＝1时，T1＝2S1－12.因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.

(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－

(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①

所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②

②－①得an＋1＝2an＋2.

所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)． (*)

当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则＝2.

所以，当n＝1时，适合(*)式，所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．

则an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.