已知单调递增的等比数列{an}满足： a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和...

已知单调递增的等比数列{an}满足：

a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>50成立的最小的正整数n.

（1）2n（2）n＝5. 【解析】(1)设{an}的公比为q，由已知，得∴ 即，解得或 (舍去)∴an＝a1qn－1＝2n， (2)bn＝2nlog2n＝－n·2n，设Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，② ①－②得－Tn＝(2＋22＋…＋2n)－n×2n＋1 ＝－(n－1)·2n＋1－2， ∴Sn＝－Tn＝－(n－1)×2n＋1－2，由Sn＋n·2n＋1>50，得－(n－1)·2n＋1－2＋n·2n＋1>50，则2n>26，故满足不等式的最小的正整数n＝5.

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考点分析：

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设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x满足f′＝0.