Question

如图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB₁＝3a，D是A₁C₁的中点，点F在线段AA₁上，当AF＝________时，CF⊥平面B₁DF.

Answer

a或2a

【解析】法一：由已知得B1D⊥平面AC1，

又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，

故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF.

设AF＝x(0＜x＜3a)，则CF2＝x2＋4a2，

DF2＝a2＋(3a－x)2，又CD2＝a2＋9a2＝10a2，

∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，

解得x＝a或2a.

法二：分别以BA、BC、BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz，

则B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，设F(a,0，m)，D，C(0，a,0)，

＝(a，－a，m)，＝，＝(a,0，m－3a)，

∵CF⊥面B1DF，∴CF⊥B1F，⊥，即·＝0，·＝0，

可得2a2＋m(m－3a)＝0，解得m＝a或2a.