Question

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形，O是BD的中点，E是棱AA₁上任意一点．

(1)证明：BD⊥EC₁；

(2)如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC₁，求AA₁的长．

Answer

（1）见解析（2）3

【解析】(1)连接AC，A1C1.由底面是正方形知，BD⊥AC.

因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD.

又AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.

因为EC1⊂平面AA1C1C知，BD⊥EC1.

(2)设AA1的长为h，连结OC1.

在Rt△OAE中，AE＝，AO＝，

故OE2＝()2＋()2＝4.

在Rt△EA1C1中，A1E＝h－，A1C1＝2，

故E＝(h－)2＋(2)2.

在Rt△OCC1中，OC＝，CC1＝h，O＝h2＋()2.

因为OE⊥EC1，所以OE2＋E＝O，即

4＋(h－)2＋(2)2＝h2＋()2，

解得h＝3，所以AA1的长为3.