Question

已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．

(1)证明：PF⊥FD；

(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；

(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．

不妨令P(0,0，t)，则＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)．

所以·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，所以PF⊥FD.

(2)设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，由(1)知＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，则由，得，令z＝1，则x＝y＝.

故n＝是平面PFD的一个法向量．

设G点坐标为(0,0，m)，因为E，则

要使EG∥平面PFD，只需 ·n＝0.即×＋0×＋m×1＝m－＝0，

所以m＝t，从而PA上满足AG＝AP的点G可使得EG∥平面PFD.

(3)易知AB⊥平面PAD，所以＝(1,0,0)是平面PAD的一个法向量．

又因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，故∠PBA＝45°，所以PA＝1，则平面PFD的一个法向量为n＝，

则cos〈，n〉＝＝＝，

由题图可判断二面角为锐角．故所求二面角A－PD－F的余弦值为.