Question

已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x²＝4y的焦点．

(1)求椭圆方程；

(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程；

(3)若斜率为1的直线交椭圆于M、N两点，求△OMN面积的最大值(O为坐标原点)．

Answer

（1）＋y2＝1（2）(x－2)2＋(y－1)2＝4（3）

【解析】(1)由题意设椭圆方程为：＝1(a＞b＞0)，

因为抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，

所以b＝1.由离心率e＝＝，a2＝b2＋c2解得a＝，b＝1，c＝1，椭圆方程为＋y2＝1.

(2)由解得，所以A＝(2,1)．

因为抛物线的准线方程为y＝－1，

所以圆的半径r＝1－(－1)＝2，

所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

(3)设直线MN方程为y＝x＋m，由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.

由判别式Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，解得－＜m＜.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，

所以|MN|＝

原点O到直线MN的距离d＝

S＝|MN|d＝＝≤ (m2＋3－m2)＝.

当且仅当m2＝3－m2即m＝±时等号成立，所以三角形OMN面积的最大值为.