Question

定义平面向量的一种运算：ab＝|a||b|sin 〈a，b〉，则下列命题：①ab＝ba；②λ(ab)＝(λa) b；③(a＋b)c＝(ac)＋(bc)；④若a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则ab＝|x₁y₂－x₂y₁|.其中真命题是________________________(写出所有真命题的序号)．

Answer

①④

【解析】由定义知ba＝|b||a|sin 〈a，b〉＝ab，所以①正确．②当λ<0时，〈λa，b〉＝π－〈a，b〉，所以b＝|λa||b|sin 〈λa，b〉＝－λ|a||b|sin 〈a·b〉，而λ(ab)＝λ|a||b|sin 〈a，b〉，所以②不成立．③因为a＋b＝0显然不成立，所以③不成立．④(ab)2＝|a|2·|b|2sin 2〈a，b〉＝|a|2·|b|2(1－cos 2〈a，b〉)＝|a|2·|b|2－|a|2·|b|2cos 2〈a，b〉＝|a|2·|b|2－(a·b)2＝－＝，所以ab＝|x1y2－x2y1|，所以④成立．