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已知椭圆=1(a>b>0)的一个焦点为F,若椭圆上存在一个P点,满足以椭圆短轴为...

已知椭圆满分5 manfen5.com1(a>b>0)的一个焦点为F,若椭圆上存在一个P点,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该线段的中点,则该椭圆的离心率为(  )

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A 【解析】不妨设F(-c,0)为椭圆的左焦点,F1为椭圆的右焦点.P点在椭圆上,线段PF的中点为M,则|PM|=|FM|,圆x2+y2=b2与线段PF相切于点M,则|MO|=b(O为坐标原点).显然有OM为△FPF1的中位线,则|PF1|=2|OM|=2b.由勾股定理可得|PF|=2|FM|=2.再由椭圆定义可知,|PF|+|PF1|=2a,所以2+2b=2a,所以c2-b2=(a-b)2=a2-2ab+b2,结合a2-c2=b2得2ab=3b2.所以2a=3b,所以e===.  
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